MATEMÁTICA - Equações polinomiais

(Urca-CE) Sejam A = (a_ij) uma matriz n × n e p(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + ...+ a₁x + a₀ um polinômio na indeterminada x com coeficientes reais. Dizemos que A é um zero de p(x) se p(A) = O, onde O é a matriz nula n × n, isto é, p(A) = a_nAⁿ + a_{n - 1}A^{n - 1} + ... + a₁A + a₀I = O, onde I é a matriz identidade n × n. Considere A =  e p(x) = x² - 5x - 6.

O valor de k para que A seja um zero de p(x) é:

(Unifesp) Considere o polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + c, sabendo que a, b e c são números reais e que o número 1 e o número complexo 1 + 2i são raízes de p, isto é, que p(1) = p(1 + 2i) = 0. Nestas condições existe um polinômio q(x) para o qual p(x) = (1 - x) · q(x).

Uma possível configuração para o gráfico de y = q(x) é:

(FGV-SP) Sendo m um número inteiro, considere a equação polinomial 3x⁴ + 2x³ + mx² - 4x = 0, na incógnita x, que possui uma raiz racional entre - e -.

Nessas condições, a menor raiz irracional da equação é igual a:

(FGV-SP) O polinômio P(x) = x⁴ - 5x³ + 3x² + 5x - 4 tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a:

Um polinômio P(x) = ax³ − bx² + 2x + 3 tem resto 2 quando dividido por x + 1 e uma de suas raízes é 2. Assim P(1) vale:

O polinômio P(x) = 2x³ − 3x² + 2ax − 4 tem 5 como uma de suas raízes. Então, o valor de a é:

(Unioeste-PR)Considere o polinômiop(x) = detA, ondeA = . Se x ₁, x₂ e x₃ são as raízes de p(x) e a = x₁ + x₂ + x₃, então é correto afirmar que a é igual a:

(Unifacs-BA) O Sistema de Posicionamento Global ou GPS é formado a partir de uma constelação de satélites e suas estações na Terra e já começa a fazer parte do cotidiano da vida das pessoas. Dentre outras informações relativas ao seu deslocamento, o portador de um receptor GPS padrão pode ser situado no mapa em um determinado local, como também ter seu caminho traçado por um mapa à medida que se mova.

A trilha, mostrando no mapa o caminho percorrido por determinada pessoa que se deslocou de um ponto A até um ponto B, quando representada no sistema de coordenadas cartesianas, corresponde à parte da curva definida pela expressão algébrica P(x) = ax³ - x² + bx + c representada no gráfico.

Com base nessas informações, pode-se afirmar que o resto na divisão de P(x) por Q(x) = 2x² + 3x - 2 é:

As dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são as raízes da equação algébrica x³ - 31x² + 318x - 1080 = 0.

Dessa maneira, o valor inteiro mais próximo da medida da diagonal desse paralelepípedo é:

Um polinômio do 3º grau tem 2 de seus coeficientes iguais a 2 e os outros iguais a 1. Se − 1 é uma das raízes desse polinômio, a soma das outras duas pode ser igual a:

(UEFS-BA) O dispositivo de Briot-Ruffini recebeu este nome em homenagemc ao matemático francês Charles A. A. Briot (1817-1882) e ao matemático italiano Paolo Ruffini (1765-1822). 

O esquema a seguir representa a divisão de um polinômio P(x) por outro do tipo D(x) = (x - 1)(x - c) pelo método de Briot-Ruffini, com a, b, c e d constantes reais, d ≠ 0.

Nessas condições, pode-se afirmar que, sendo i a unidade imaginária dos números complexos, o valor de (a + bi)(c - di) é:

(Uece) Se x, y, z e w são as raízes da equação x⁴ + 2x² + 1 = 0, então log₂ |x| 1 log2 |y| + log₂ |z| + log₂ |w| é igual a:

(UEL-PR) Seja A uma matriz quadrada 2 × 2 de números reais dada por:

O polinômio característico de A é definido por c(t) = det (A - t · I), onde I é a matriz identidade 2 × 2. Nessas condições, o polinômio característico da matriz A é:

(PUC-RS) Ao visitar a Faculdade de Matemática em Coimbra, Tales fez amizade com um estudante, que lhe propôs a seguinte questão: 

Um polinômio tem tantas raízes imaginárias quantas são as consoantes da palavra Coimbra, e o número de raízes reais é no máximo igual ao número de vogais.

Então, o grau deste polinômio é um número n tal que:

(Unicap-PE) [Classifique as alternativas em verdadeiras ou falsas.]

a) O polinômio (x² - 5x + 6)¹⁰ é divisível por (x - 2) (x - 3)².
b) O volume de uma esfera é 12π cm³; o seu raio mede √3 cm.
c) O quociente entre cada lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto é constante.
d) A idade de Pedro está para a de João na razão de 16 para 3 e ambas as idades somam 38 anos. A idade de Pedro é 30 anos.
e) No plano cartesiano ortogonal, as retas de equações x + y - 5 = 0 e 2x + y - 1 = 0 são concorrentes no ponto (4, 9).

Sendo A(x) um polinômio do terceiro grau que possui termo independente igual a 30 e B(x) = A(x) + x² − 7x + 10, sobre o polinômio A(x) sabe-se que A(2) = 0, A(5) = 0 e que a soma de seus coeficientes é 16.

As raízes do polinômio B são:

Se o polinômio P(x) = x⁴ + 3x³ + 2x² − αx − α tem uma raiz igual a − 2 + 2i, então, as suas outras raízes reais são:

Qual a soma dos quadrados das raízes do polinômio P(x) = x⁴ − (a − 6b)x³ + 17x² − 2x + a + b, sabendo-se que P(2) = 20 e P(0) = 16?

Um explorador encontrou um enigma numa tumba que estava explorando. Esse enigma consiste em uma pirâmide matemática:

Após avaliar essa pirâmide, ele constatou que cada bloquinho da primeira fileira é multiplicado pelo bloquinho à sua esquerda, se houver, e o resultado é colocado acima.

Da segunda fileira até a última, o bloquinho é somado com o de sua esquerda, se houver, e o resultado colocado acima, como indicado no exemplo anterior.

Seguindo sua exploração, ele encontrou uma outa pirâmide, com os mesmos escritos da primeira, porém com alguns números incógnitos. 

Se pelas indicações todos os números incógnitos devem ser iguais, as possibilidades para esse número são:

(UCPel-RS) As raízes da equação x³ - 13x² + 39x - 27 = 0 são reais e estão em progressão geométrica. Então, a solução dessa equação é o conjunto:

(UEM-PR — Adaptado) Dado um número natural n ≥ 1 e considerando que as raízes n-ésimas da unidade são as raízes complexas do polinômio xⁿ - 1 assinale às alternativas corretas e indique a soma dos números associados às alternativas corretas.

01. O módulo de qualquer raiz n-ésima da unidade é igual a 1.
02. Todas as raízes de x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 são também raízes sextas (6-ésimas) da unidade.
04. Se z₁ e z₂ são raízes n-ésimas da unidade, ambas distintas de 1, então z₁z₂ também é uma raiz n-ésima da unidade.
08. Se z₁ é uma raiz quinta da unidade e z₂ é uma raiz sétima da unidade,então  é uma raiz quinta da unidade.
16. x = -1 é sempre raiz da unidade para n ≥ 2.

(Fuvest-SP) O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x - 2 e x - 1, respectivamente. Assim, o valor de a é:

(UTFPR) Se 2 e 2 - 3i são raízes da equação ax³ + bx² + cx + d = 0, então a soma c + d é igual a:

(Mackenzie-SP) Se a, b e c são as raízes do polinômio p(x) = x³ - 5x² + 2x + 8, tais que a = -2bc, o valor de +  é:

As raízes da equação 3x⁴ - 30x³ + kx² - rx + t = 0, na variável x, estão em progressão aritmética, em que a diferença entre a maior e a menor é 3.

Se colocarmos os valores dessas raízes e os valores de k e t num rol, a mediana desse conjunto de valores é:

(Uece) Se os números x₁, x₂, x₃ e x₄ são as soluções da equação x⁴ - 4x³ - 2x² + 12x + 9 = 0, então o valor da soma log₃ |x₁| + log₃ |x₂| + log₃ |x₃| + log₃ |x₄| é:

A raiz quadrada da soma dos quadrados das raízes do polinômio 2x³ − 5x² + 6x − 8 =0 vale:

(Unioeste-PR) O sistema de controle de uma empresa que vende um determinado produto agrícola pela internet considera que o estoque deste produto, em toneladas, em um dado momento t, t em dias, é positivo se a quantidade totalizada pelos pedidos existentes neste momento for menor que a quantidade existente em seu depósito, negativo se o total dos pedidos for maior que a quantidade disponível e nulo se o total dos pedidos for igual ao total disponível. O polinômio P(t) = (t - 10)(a₂t² + a₁t + a₀), a₂ ≠ 0, dá uma aproximação para o estoque em um período de 12 dias consecutivos observados. A parte do gráfico deste polinômio que corresponde aos valores de t tais que 0 ≤ t ≤ 7 está esboçado na figura a seguir.

Com base nas informações dadas, para o período de 12 dias considerados, pode-se afirmar que:

(ITA-SP) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x⁴ + x² + ax + b = 0, com a, b , então a² - b³ é igual a:

Um matemático, andando com suas três filhas, Bruna, Carla e Diana, foi questionado por um amigo sobre as idades delas.

O pai, querendo que seu amigo também pensasse matematicamente, respondeu:

A soma das idades das três é 14 anos.

O produto das idades de Bruna e Carla é 15 anos.

O produto das idades de Bruna e Diana é 18 anos.

O produto das idades de Carla e Diana é 30 anos.

O produto das idades das três meninas é 90 anos.

Considerando que as idades das filhas do matemático são raízes da equação algébrica ax³ + bx² + cx + d = 0, temos que a + b + c + d é igual a:

O resultado de um experimento está associado a um modelo matemático P(x).

Interessa, nesse momento, todos os valores inteiros menores que 10 e que satisfazem P(x) ≥ 0.

Sabe-se que P(x) = 2x³ - 7x² + k e é divisível por (x + 1).

Representando N como sendo o conjunto dos números inteiros que interessam, nesse momento, ao experimento, temos que o número de elementos de N é:

Sabendo-se que P(2) = 3, para o polinômio P(x) = 3x³ − ax² − 3x + 5, então, suas raízes serão:

Uma equação polinomial do quarto grau, em que o coeficiente de x⁴ é 2, possui o número 1 como raiz dupla, o número - 1 como raiz simples e o número 2 como raiz simples.

Esse polinômio está melhor representado em: